Cálculo Exemplos

$y'''' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

Etapa 1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 x^{2}$

Etapa 2

Encontre $y''$ .

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Etapa 2.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y'' = 3 (2 x)$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y'' = 6 x$

Etapa 3

Encontre $y'''$ .

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Etapa 3.1

Determine a derivada.

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y''' = 6 \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$y''' = 6$

Etapa 4

Encontre $y''''$ .

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Etapa 4.1

Determine a derivada.

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$y'''' = 0$

Etapa 5

Substitua na equação diferencial determinada.

$0 = \frac{3 x^{3}}{x}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $3 x^{3}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Etapa 6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$0 = \frac{3 x^{2}}{1}$

Etapa 6.2.5

Divida $3 x^{2}$ por $1$ .

$0 = 3 x^{2}$

Etapa 7

A solução determinada não satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = x^{3}$ não é uma solução para $y'''' = \frac{3 y}{x}$