Cálculo Exemplos

$\int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| x |) + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 10.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 10.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Etapa 10.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$