Cálculo Exemplos

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - y$ e $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Expanda $(x + y) (1 - y')$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.3

Multiplique $- - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.4

Expanda $(- x + y) (1 + y')$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.2

Combine os termos opostos em $x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ .

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Etapa 3.7.2.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.2.2

Some $- x y' + y - y y'$ e $0$ .

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.2.3

Some $- y y'$ e $y y'$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.2.4

Some $- x y' + y - x y' + y$ e $0$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.3

Subtraia $x y'$ de $- x y'$ .

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.4

Some $y$ e $y$ .

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Fatore $2$ de $- 2 x y' + 2 y$ .

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Etapa 3.7.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.3.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.4

Fatore $- 1$ de $- x y'$ .

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.5

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.6

Fatore $- 1$ de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.7

Reescreva $- (x y' - y)$ como $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(x + y)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ para o numerador.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

Etapa 5.2.1.3.2

Mova $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.1.1

Some $2 y' x$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.1.1

Mova $y$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5.1.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5.1.3

Some $1$ e $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5.2

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.2.1

Mova $y^{2}$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.5.2.3

Some $2$ e $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.1.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' x^{2}$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $6 y^{3} y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $3 y^{4} y'$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

Etapa 5.3.2.4

Fatore $y'$ de $2 y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Etapa 5.3.2.6

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Etapa 5.3.2.7

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ por $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ por $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$