Cálculo Exemplos

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin (x y) (x + y x')$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ .

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

Etapa 5.2

Some $x \sin (x y)$ aos dois lados da equação.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ por $- y \sin (x y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ por $- y \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $\sin (x y)$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Separe as frações.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ como um produto.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Escreva $\cos (y)$ como uma fração com denominador $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.1.4.1

Divida $\cos (y)$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x y)}$ em $\csc (x y)$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.6

Multiplique $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

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Etapa 5.3.3.1.6.1

Combine $\cos (y)$ e $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.6.2

Combine $\csc (x y)$ e $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.7

Cancele o fator comum de $\sin (x y)$ .

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Etapa 5.3.3.1.7.1

Cancele o fator comum.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.7.2

Reescreva a expressão.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

Etapa 5.3.3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$