Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 5 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $25$ de $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $5 \tan (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $5 \tan (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Etapa 3

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Etapa 4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 8

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$5 \tan (t) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$