Cálculo Exemplos

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (2 x)}^{x})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.4

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.5.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.6

Diferencie.

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Etapa 3.2.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.6.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1$

Etapa 3.2.6.6

Multiplique $\ln (\cos (2 x))$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7

Simplifique.

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Etapa 3.2.7.1

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \sec (2 x) \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.7.2.1

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2.2

Multiplique $- 2 x \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

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Etapa 3.2.7.2.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2.2.2

Combine $x$ e $\frac{- 2}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2.5

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{2 x}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (2 x) (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \sin (2 x) x}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.7.3.1

Separe as frações.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.3.2

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.3.3

Divida $2 x$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = - (2 x \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 3.2.7.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = - 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (- 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $\tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = (- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

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Etapa 5.1.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (x \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (\frac{x (- 2 \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y' = (\frac{- 2 \cdot x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = (- \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = - \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} {\cos (2 x)}^{x} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.3

Combine ${\cos (2 x)}^{x}$ e $\frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de ${\cos (2 x)}^{x}$ e $\cos (2 x)$ .

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Etapa 5.4.1.1

Fatore $\cos (2 x)$ de ${\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))}{1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4.1.2.4

Divida ${\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))$ por $1$ .

$y' = - ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = - (2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x)) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = - 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $- 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$ .

$y' = - 2 x {\cos (2 x)}^{x - 1} \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{x} \ln (\cos (2 x))$