Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Etapa 1.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Etapa 1.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

Etapa 1.2

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Etapa 1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

Etapa 1.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

Etapa 1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

Etapa 1.3.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 2

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.3

Para escrever $- \frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.6.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $- 3$ e $6$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.7.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 4.8

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$