Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Etapa 1

Mova o termo $- 4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Etapa 5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Etapa 6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $- \frac{π}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{π}{3}$ por $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{π}{3}$ por $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Etapa 9.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Etapa 9.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

Etapa 9.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

Etapa 9.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.2.4

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

Etapa 9.2.5

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

Etapa 9.2.6

Combine $- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

Etapa 9.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

Etapa 9.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.8.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

Etapa 9.2.8.2

Some $- 16$ e $5$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

Etapa 9.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

Etapa 9.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.5.1

Cancele o fator comum.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Etapa 9.5.2

Reescreva a expressão.

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

Etapa 9.6

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{1}{11}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

Etapa 9.7

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{11}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

Etapa 9.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Forma decimal:

$- 0.62983665 \dots$