Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{t} x \sqrt{x - t} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{x - t}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{t} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = x - t$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x - t$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - t$ .

$\frac{d}{d x} [x - t]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - t$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- t]$

Etapa 4.1.4

Como $- t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- t$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - t$ .

$u_{lower} = 0 - t$

Etapa 4.3

Subtraia $t$ de $0$ .

$u_{lower} = - t$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - t$ .

$u_{upper} = t - t$

Etapa 4.5

Subtraia $t$ de $t$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - t$

$u_{upper} = 0$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \int_{- t}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ em $t$ e em $0$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ em $0$ e em $- t$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $t$ de $t$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{t (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{t (2 \cdot 0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{t \cdot 0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.7

Multiplique $t$ por $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 6.3.8.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{3 (0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$0 - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.9

Subtraia $t$ de $0$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.10

Fatore $- 1$ de $- t$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- (t))}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.11

Aplique a regra do produto a $- (t)$ .

$0 - \frac{0 (2 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}}))}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - \frac{0 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.13

Multiplique ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ por $0$ .

$0 - \frac{0 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.14

Multiplique $0$ por $t^{\frac{3}{2}}$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 6.3.15.1

Fatore $3$ de $0$ .

$0 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$0 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.17

Some $0$ e $0$ .

$0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.18

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.19

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.20.1

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.20.2

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.21

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.22

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.23

Fatore $- 1$ de $- t$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- (t))}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.24

Aplique a regra do produto a $- (t)$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} t^{\frac{5}{2}}))$

Etapa 6.3.25

Combine ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.26

Combine $t^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{5})$

Etapa 6.3.27

Mova $2$ para a esquerda de ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{5})$

Etapa 6.3.28

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2 \cdot t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 6.3.29

Subtraia $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ de $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (- \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 6.3.30

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 6.3.31

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 6.3.32

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$0 + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Etapa 6.3.33

Multiplique $2$ por $2$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Etapa 6.3.34

Multiplique $3$ por $5$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}$

Etapa 6.3.35

Some $0$ e $\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$

Etapa 7

Reordene os termos.

$\frac{4 {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{{(- 1)}^{5}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{4 \sqrt{- 1}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.1.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{4 i}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{4 i}{15}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 i t^{\frac{5}{2}}}{15}$