Cálculo Exemplos

$x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2} = 10$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \ln (y)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$2 x - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$2 x - 3 \frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.5

Combine $- 3$ e $\frac{y'}{y}$ .

$2 x + \frac{- 3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y}$

Etapa 3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 1, y, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ por $y$ .

$2 y y' y + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Mova $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 y'}{y}$ para o numerador.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0 y$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $0$ por $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} y' - 3 y' = - 2 x y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $2 y^{2} y' - 3 y'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $2 y^{2} y'$ .

$y' (2 y^{2}) - 3 y' = - 2 x y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3 = - 2 x y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ por $2 y^{2} - 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ por $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2} - 3$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$