Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 25 \ln (x^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25 \ln (x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25 \ln (x^{2})$ em relação a $x$ é $- 25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$2 x - 25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$2 x - 25 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 x - 25 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 x - 25 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - 25 (\frac{1}{x^{2}} (2 x))$

Etapa 1.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 25 (\frac{2}{x^{2}} x)$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$2 x - 25 \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$2 x - 25 \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 x - 25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x - 25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x - 25 \frac{2}{x}$

Etapa 1.2.7

Combine $- 25$ e $\frac{2}{x}$ .

$2 x + \frac{- 25 \cdot 2}{x}$

Etapa 1.2.8

Multiplique $- 25$ por $2$ .

$2 x + \frac{- 50}{x}$

Etapa 1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{50}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{50}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{50}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{50}{x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{50}{x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{50}{x})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{50}{x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{50}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{50}{x}$ em relação a $x$ é $- 50 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 - 50 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 50 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 50 (- x^{- 2})$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 50$ .

$f'' (x) = 2 + 50 x^{- 2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 50 (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.4.2

Combine $50$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{50}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{50}{x^{2}} + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x - \frac{50}{x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25 \ln (x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 25 \ln (x^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25 \ln (x^{2})$ em relação a $x$ é $- 25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$2 x - 25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$2 x - 25 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 x - 25 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 x - 25 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - 25 (\frac{1}{x^{2}} (2 x))$

Etapa 4.1.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 25 (\frac{2}{x^{2}} x)$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$2 x - 25 \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$2 x - 25 \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 x - 25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x - 25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x - 25 \frac{2}{x}$

Etapa 4.1.2.7

Combine $- 25$ e $\frac{2}{x}$ .

$2 x + \frac{- 25 \cdot 2}{x}$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- 25$ por $2$ .

$2 x + \frac{- 50}{x}$

Etapa 4.1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{50}{x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{50}{x}$ .

$2 x - \frac{50}{x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{50}{x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{50}{x} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{50}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{50}{x} = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{50}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{50}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{50}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{50}{x}$ para o numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 50}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{- 50}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 50 = 0 x$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 50 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $50$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 50$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 50$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 50$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{50}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{50}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{50}{2}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Divida $50$ por $2$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 5.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 5.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 5.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 5.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 5.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{50}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5, - 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{50}{{(5)}^{2}} + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{50}{25} + 2$

Etapa 9.1.2

Divida $50$ por $25$ .

$2 + 2$

Etapa 9.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 10

$x = 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = {(5)}^{2} - 25 \ln ({(5)}^{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 25 - 25 \ln ({(5)}^{2})$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 25 - 25 \ln (25)$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $25 - 25 \ln (25)$ .

$y = 25 - 25 \ln (25)$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{50}{{(- 5)}^{2}} + 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{50}{25} + 2$

Etapa 13.1.2

Divida $50$ por $25$ .

$2 + 2$

Etapa 13.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 14

$x = - 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} - 25 \ln ({(- 5)}^{2})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = 25 - 25 \ln ({(- 5)}^{2})$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = 25 - 25 \ln (25)$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $25 - 25 \ln (25)$ .

$y = 25 - 25 \ln (25)$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} - 25 \ln (x^{2})$ .

$(5, 25 - 25 \ln (25))$ é um mínimo local

$(- 5, 25 - 25 \ln (25))$ é um mínimo local

Etapa 17