Cálculo Exemplos

$\int x \ln^{2} (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln^{2} (x)$ e $d v = x$ .

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln^{2} (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Etapa 3

Reescreva $\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ como $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (2 \ln (x))$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

Etapa 5.2.2.5

Divida $x (2 \ln (x))$ por $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 7.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 7.3.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9.4

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Etapa 9.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 9.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 9.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Etapa 12.2

Reescreva $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ como $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Etapa 12.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Para escrever $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 12.3.2

Combine $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 12.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 12.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 12.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 12.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 12.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 12.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{4}$ para o numerador.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Etapa 12.4.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Etapa 12.4.3.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Etapa 12.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Etapa 12.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.4.2

Multiplique $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.4.2.2

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.5

Para escrever $- \ln (x) x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.6

Combine $- \ln (x) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.8.1

Fatore $x^{2}$ de $- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.8.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.8.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.8.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.9

Fatore $- 1$ de $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.11

Fatore $- 1$ de $- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.12

Reescreva $- (2 \ln (x) - 1)$ como $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Etapa 12.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$