Cálculo Exemplos

$y = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 4

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 7.2

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 7.2.2

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 7.2.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Etapa 8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 9

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 11

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 13

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 14.2

Fatore $- 1$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 14.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 14.4

Reescreva $- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ como $- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Etapa 14.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$