Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \sin (5 x)}{6 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \sin (5 x)}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin (0) + \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin (0) + \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.6.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) + \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \sin (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.5

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 5 \cos (5 x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida $\cos (x) + 5 \cos (5 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \cos (x) + 5 \cos (5 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x))$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{6} (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x))$

Etapa 3.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} (\cos (lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x))$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{6} (\cos (lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x))$

Etapa 3.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} (\cos (lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} (\cos (0) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} (\cos (0) + 5 \cos (5 \cdot 0))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{6} (1 + 5 \cos (5 \cdot 0))$

Etapa 5.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{6} (1 + 5 \cos (0))$

Etapa 5.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{6} (1 + 5 \cdot 1)$

Etapa 5.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (1 + 5)$

Etapa 5.2

Some $1$ e $5$ .

$\frac{1}{6} \cdot 6$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} \cdot 6$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$1$