Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = x^{3}$ e $g (y) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Some $x'$ e $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2}) x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.4.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.4.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.4.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} x' - 3 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.4.2

Subtraia $x^{3} x'$ de $3 x^{3} x'$ .

$\frac{2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.5

Fatore $x^{2} x'$ de $2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.5.1

Fatore $x^{2} x'$ de $2 x^{3} x'$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x) - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.5.2

Fatore $x^{2} x'$ de $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.5.3

Fatore $x^{2} x'$ de $x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.9.6

Reordene os fatores em $\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Simplifique $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} (2 x - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.1.3

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.1.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.2.1

Mova $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$(2 x^{3} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} x' - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.3.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.3.2.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.3.2.2

Mova $x^{2}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 5.4

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = (x - 1) (x - 1)$

Etapa 5.4.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Etapa 5.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Etapa 5.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.4.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.4.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.4.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.4.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x + 1$

Etapa 5.4.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 5.4.2

Fatore $x' x^{2}$ de $2 x' x^{3} - 3 x' x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Fatore $x' x^{2}$ de $2 x' x^{3}$ .

$x' x^{2} (2 x) - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 5.4.2.2

Fatore $x' x^{2}$ de $- 3 x' x^{2}$ .

$x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3 = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 5.4.2.3

Fatore $x' x^{2}$ de $x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3$ .

$x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 5.4.3

Divida cada termo em $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ por $x^{2} (2 x - 3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Divida cada termo em $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ por $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.2.1

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.2

Para escrever $\frac{1}{2 x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 3) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x}{(2 x - 3) x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(2 x - 3) x$ .

$x' = \frac{x}{x (2 x - 3)} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.5

Para escrever $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 3) x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.6.1

Multiplique $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x (2 x - 3) x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x^{1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1 + 1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.6.5

Some $1$ e $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{(x - 2) x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = \frac{x \cdot x - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.8.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.8.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.8.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 5.4.3.3.8.3.3

Reescreva o polinômio.

$x' = \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 5.4.3.3.8.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x' = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$