Cálculo Exemplos

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\arcsin (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\arcsin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 1.1.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1.1.5.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1.1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 4

Reescreva $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\arcsin (\cos (x))$ .

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$