Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Etapa 3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8.2

Multiplique $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ por $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $e^{x}$ em $1$ e em $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $- 2$ e em $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Simplifique.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 11.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 11.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 11.3.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 11.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 12.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.4.1

Mova $e^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Etapa 12.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 12.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Etapa 12.5.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 12.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.28594947 \dots$

Etapa 14