Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Etapa 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ em $\sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (θ)$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Etapa 4

Como a derivada de $\tan (θ)$ é $\sec^{2} (θ)$ , a integral de $\sec^{2} (θ)$ é $\tan (θ)$ .

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ e $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\tan (θ) + θ$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

Etapa 6.2.2

Some $\tan (0)$ e $0$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Etapa 6.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$1 + \frac{π}{4} - 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 + \frac{π}{4} + 0$

Etapa 6.3.4

Some $1 + \frac{π}{4}$ e $0$ .

$1 + \frac{π}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$1 + \frac{π}{4}$

Forma decimal:

$1.78539816 \dots$