Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x} + 1}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.3

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.6

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Some $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 11

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - (x^{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 12

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 12.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 12.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{4 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 12.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}}) x + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 13.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (2 x^{1 + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2 + 1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.1.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.3.2

Subtraia $x^{\frac{3}{2}}$ de $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.4

Fatore $x$ de $2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 13.4.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.4.2

Fatore $x$ de $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Etapa 13.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (2 + 3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$