Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} e^{\frac{1}{x}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \frac{1}{x}$ . Depois, $d u_{1} = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , então, $- d u_{1} = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \frac{1}{x}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Negative o expoente de $e^{u_{1}}$ e o mova para fora do denominador.

$- \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$- \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$- \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $e^{- u_{1}}$ por $1$ .

$- \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = - d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2

Multiplique $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Etapa 9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- u_{1}$ .

$e^{- u_{1}} + C$

Etapa 9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$