Cálculo Exemplos

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $y + 3$ por $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $y'$ e $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Reordene os termos.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(y + 3)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Etapa 5.2.1.2

Reordene.

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Etapa 5.2.1.2.1

Mova $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Etapa 5.2.1.2.2

Mova $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2

Reescreva $- 1 y'$ como $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique $y' {(y + 3)}^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva ${(y + 3)}^{2}$ como $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Etapa 5.3.3.2

Expanda $(y + 3) (y + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Etapa 5.3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Etapa 5.3.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Etapa 5.3.3.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Etapa 5.3.3.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Etapa 5.3.3.3.2

Some $3 y$ e $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Etapa 5.3.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Etapa 5.3.3.5.2

Mova $9$ para a esquerda de $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Etapa 5.3.4

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Etapa 5.3.5

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.5.1

Some $y' x$ aos dois lados da equação.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Etapa 5.3.5.2

Subtraia $2 y'$ dos dois lados da equação.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Etapa 5.3.5.3

Subtraia $2 y'$ de $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Etapa 5.3.6

Fatore $y'$ de $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

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Etapa 5.3.6.1

Fatore $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Etapa 5.3.6.2

Fatore $y'$ de $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Etapa 5.3.6.3

Fatore $y'$ de $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Etapa 5.3.6.4

Fatore $y'$ de $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Etapa 5.3.6.5

Fatore $y'$ de $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Etapa 5.3.6.6

Fatore $y'$ de $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Etapa 5.3.6.7

Fatore $y'$ de $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Etapa 5.3.7

Divida cada termo em $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ por $y^{2} + 6 y + x + 7$ e simplifique.

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Etapa 5.3.7.1

Divida cada termo em $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ por $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Etapa 5.3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.7.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

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Etapa 5.3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Etapa 5.3.7.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Etapa 5.3.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$