Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \cos (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - \int \sin (x) (3 x^{2}) d x$

Etapa 2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x^{3} \sin (x) - (3 \int \sin (x) (x^{2}) d x)$

Etapa 3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 \int \sin (x) (x^{2}) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x)$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x)$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x))$

Etapa 7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x)$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x))$

Etapa 9

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Reescreva $x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$ como $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$

Etapa 10.2

Reescreva $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$ como $x^{3} \sin (x) + 3 (x^{2} \cos (x)) - 6 (x \sin (x)) - 6 \cos (x) + C$ .

$x^{3} \sin (x) + 3 (x^{2} \cos (x)) - 6 (x \sin (x)) - 6 \cos (x) + C$

Etapa 10.3

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{3} \sin (x) + 3 x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) - 6 \cos (x) + C$