Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.6.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.2.6.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.9

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x \cos (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]}$

Etapa 1.3.12

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

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Etapa 1.3.12.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 1.3.12.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.12.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.12.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.12.8

Multiplique $\cos (5 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x)}$

Etapa 1.3.13

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{- 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin (x) \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.11

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 5 x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 2.13

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 2.14

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 2.15

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 2.16

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 2.17

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 2.18

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 2.19

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 + 1 \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $\cos (4 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{0 + \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 + \cos (0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.9

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 + 1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.10

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 1 + \cos (0)}$

Etapa 4.2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{0 + 1 + 1}$

Etapa 4.2.7

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Etapa 4.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$