Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{2 - {y'}^{2}}{2 + {y'}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $y'$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ é $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ , em que $f (y') = 2 - {y'}^{2}$ e $g (y') = 2 + {y'}^{2}$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 - {y'}^{2}] - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - {y'}^{2}$ com relação a $y'$ é $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $y'$ , a derivada de $2$ em relação a $y'$ é $0$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y'$ , a derivada de $- {y'}^{2}$ em relação a $y'$ é $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ é $n {y'}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + {y'}^{2}$ com relação a $y'$ é $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $y'$ , a derivada de $2$ em relação a $y'$ é $0$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ é $n {y'}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (2 - {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (2 - {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 2 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique ${y'}^{2}$ por $y'$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.3.1

Mova $y'$ .

$\frac{- 4 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3.2

Multiplique $y'$ por ${y'}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.3.2.1

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5

Multiplique ${y'}^{2}$ por $y'$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.5.1

Mova $y'$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5.2

Multiplique $y'$ por ${y'}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.5.2.1

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' + 2 {y'}^{3}}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Combine os termos opostos em $- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' + 2 {y'}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Some $- 2 {y'}^{3}$ e $2 {y'}^{3}$ .

$\frac{- 4 y' - 4 y' + 0}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2.2

Some $- 4 y' - 4 y'$ e $0$ .

$\frac{- 4 y' - 4 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Subtraia $4 y'$ de $- 4 y'$ .

$\frac{- 8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

${(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $y' = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$ por ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $y' = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$ por ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ .

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}} {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$ para o numerador.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}} {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}} {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = - 8 y'$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Some $8 y'$ aos dois lados da equação.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Reescreva ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ como $(2 + {y'}^{2}) (2 + {y'}^{2})$ .

$y' ((2 + {y'}^{2}) (2 + {y'}^{2})) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.2

Expanda $(2 + {y'}^{2}) (2 + {y'}^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (2 (2 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (2 + {y'}^{2})) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (2 \cdot 2 + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2} (2 + {y'}^{2})) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (2 \cdot 2 + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 2 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 2 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de ${y'}^{2}$ .

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + 2 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.3.1.3

Multiplique ${y'}^{2}$ por ${y'}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.3.1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.3.1.3.2

Some $2$ e $2$ .

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + 2 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.3.2

Some $2 {y'}^{2}$ e $2 {y'}^{2}$ .

$y' (4 + 4 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y' \cdot 4 + y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $y'$ .

$4 \cdot y' + y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.5.3

Multiplique $y'$ por ${y'}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.3.1

Multiplique $y'$ por ${y'}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.5.3.1.1

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.5.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.5.3.2

Some $1$ e $4$ .

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.6

Multiplique $y'$ por ${y'}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.6.1

Mova ${y'}^{2}$ .

$4 y' + 4 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.6.2

Multiplique ${y'}^{2}$ por $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.6.2.1

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$4 y' + 4 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 y' + 4 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.2.6.3

Some $2$ e $1$ .

$4 y' + 4 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Etapa 5.3.1.3

Some $4 y'$ e $8 y'$ .

$4 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 12 y' = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $4 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 12 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $y'$ de $4 {y'}^{3}$ .

$y' (4 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 12 y' = 0$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $y'$ de ${y'}^{5}$ .

$y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 12 y' = 0$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $y'$ de $12 y'$ .

$y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 12 = 0$

Etapa 5.3.2.1.4

Fatore $y'$ de $y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ .

$y' (4 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 12 = 0$

Etapa 5.3.2.1.5

Fatore $y'$ de $y' (4 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 12$ .

$y' (4 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 12) = 0$

Etapa 5.3.2.2

Reordene os termos.

$y' ({y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12) = 0$

Etapa 5.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y' = 0$

${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$

Etapa 5.3.4

Defina $y'$ como igual a $0$ .

$y' = 0$

Etapa 5.3.5

Defina ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12$ como igual a $0$ e resolva para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Defina ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12$ como igual a $0$ .

${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$

Etapa 5.3.5.2

Resolva ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$ para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Substitua $u = {y'}^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 4 u + 12 = 0$

$u = {y'}^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3.5.2.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 12$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.3

Subtraia $48$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.4

Reescreva $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.7

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.4.1.7.1

Fatore $16$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.3

Subtraia $48$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.4

Reescreva $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.7

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.5.1.7.1

Fatore $16$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5.2.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = - 2 + 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.3

Subtraia $48$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.4

Reescreva $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.7

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.6.1.7.1

Fatore $16$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5.2.6.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - 2 + 2 i \sqrt{2}, - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.8

Substitua o valor real de $u = {y'}^{2}$ de volta na equação resolvida.

${y'}^{2} = - 2 + 2 i \sqrt{2}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.9

Resolva a primeira equação para $y'$ .

${y'}^{2} = - 2 + 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.10

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y' = \pm \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.10.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.10.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.10.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y' = - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.10.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.11

Resolva a segunda equação para $y'$ .

${({y'}^{2})}^{1} = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.12

Resolva a equação para $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.12.1

Remova os parênteses.

${y'}^{2} = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y' = \pm \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y' = \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y' = - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y' = \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.5.2.13

A solução para ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$ é $y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$ .

$y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $y' ({y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12) = 0$ verdadeiro.

$y' = 0, \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d v}$ .

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$