Cálculo Exemplos

$y = (2 x + 3) \sqrt{x^{2} + 3 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 3 x}$ como ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 3) {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{{(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 8.3

Mova ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \cdot 1) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 13

Multiplique $3$ por $1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 14

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 15

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 17

Combine frações.

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Etapa 17.1

Some $1$ e $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 17.2

Combine ${(2 x + 3)}^{2}$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 18

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 19

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 21

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 22

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Etapa 23

Simplifique a expressão.

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Etapa 23.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Etapa 23.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 24

Para escrever $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 25

Combine $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 27

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 28

Multiplique ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 28.1

Mova ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 ({(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 28.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 28.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 28.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 28.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 29

Simplifique $4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 (x^{2} + 3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30

Simplifique.

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Etapa 30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 30.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 30.2.1.1

Reescreva ${(2 x + 3)}^{2}$ como $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.2

Expanda $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 30.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 30.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 30.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 30.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.3.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.1.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.2

Some $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.3

Some $12 x$ e $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 9}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$