Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 3 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $3 \tan (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $3 \tan (t)$ de ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3 \tan (t)$ de $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ e $\sec^{2} (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Etapa 5

Separe as frações.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Etapa 6

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Etapa 7

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Etapa 8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Etapa 9

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Etapa 10

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$