Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $i$ de $i - i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Etapa 1.1.2

Fatore $i$ de $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Etapa 1.1.3

Fatore $i$ de $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Etapa 1.1.4

Fatore $i$ de $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Etapa 1.2

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Etapa 2

Divida a soma para tornar o valor inicial de $i$ igual a $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Etapa 3.1.2

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Etapa 3.2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Etapa 3.3

Avalie $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $\frac{1}{3}$ da soma.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Etapa 3.3.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 3.3.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Etapa 3.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Some $10$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $10$ por $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Etapa 3.3.4.1.3

Divida $110$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Etapa 3.3.4.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $55$ .

$\frac{55}{3}$

Etapa 3.4

Avalie $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $- \frac{1}{3}$ da soma.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Etapa 3.4.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.4.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Etapa 3.4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.1

Some $10$ e $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Etapa 3.4.4.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.2.1

Multiplique $10$ por $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Etapa 3.4.4.1.2.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Etapa 3.4.4.1.3

Some $20$ e $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Etapa 3.4.4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Multiplique $110$ por $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Etapa 3.4.4.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Etapa 3.4.4.2.2.2

Fatore $3$ de $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Etapa 3.4.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Etapa 3.4.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Etapa 3.4.4.2.3

Cancele o fator comum de $770$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.3.1

Fatore $2$ de $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Etapa 3.4.4.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.4.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.4.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Etapa 3.4.4.2.4

Reescreva $- 1 (\frac{385}{3})$ como $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Etapa 3.5

Adicione os resultados das somas.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{55 - 385}{3}$

Etapa 3.6.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Subtraia $385$ de $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Etapa 3.6.2.2

Divida $- 330$ por $3$ .

$- 110$

Etapa 4

Avalie $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Etapa 4.1.2

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Etapa 4.2

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Etapa 4.3.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Etapa 4.3.2.6

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Etapa 4.3.5

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Etapa 4.3.6

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Etapa 4.3.7

Subtraia $9$ de $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Etapa 4.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3}$

Etapa 5

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Para escrever $- 110$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Etapa 6.2

Combine $- 110$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Etapa 6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $- 110$ por $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Etapa 6.4.2

Some $- 330$ e $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Etapa 6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{322}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{322}{3}$

Forma decimal:

$- 107.\overline{3}$

Forma de número misto:

$- 107 \frac{1}{3}$