Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{- 4 x^{7}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{4 x^{7}}]$

Etapa 1.2

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{4 x^{7}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{x^{7}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{x^{7}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 2 x^{4} - x^{- 2} - 4$ e $g (x) = x^{7}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{7})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.8

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3} + 0) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.10

Some $- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Etapa 3.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}}{x^{14}}$

Etapa 3.12.2

Fatore $x^{6}$ de $x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}$ .

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Etapa 3.12.2.1

Fatore $x^{6}$ de $x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}}{x^{14}}$

Etapa 3.12.2.2

Fatore $x^{6}$ de $- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) + x^{6} (- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{14}}$

Etapa 3.12.2.3

Fatore $x^{6}$ de $x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) + x^{6} (- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{14}}$

Etapa 4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{6}$ de $x^{14}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{6} x^{8}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{6} x^{8}}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8} \cdot 4}$

Etapa 6

Mova $4$ para a esquerda de $x^{8}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{4 \cdot x^{8}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{4 x^{8}}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} - 4)}{4 x^{8}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x (- 8 x^{3}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} - 4)}{4 x^{8}}$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x (- 8 x^{3}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{- 8 x \cdot x^{3} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{- 8 (x^{3} x) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 7.5.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{- 8 (x^{3} x^{1}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{- 8 x^{3 + 1} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.2.3

Some $3$ e $1$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 x \frac{1}{x^{3}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.5.1.4.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x^{3}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.4.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x \cdot x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.4.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x \cdot x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.4.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 \frac{1}{x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.5

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.7

Multiplique $- 7 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Etapa 7.5.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + 7 \frac{1}{x^{2}} - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.7.2

Combine $7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + \frac{7}{x^{2}} - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.1.8

Multiplique $- 7$ por $- 4$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + \frac{7}{x^{2}} + 28}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{- 8 x^{4} + 14 x^{4} + 28 + \frac{2 + 7}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.3

Some $2$ e $7$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 14 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

Etapa 7.5.4

Some $- 8 x^{4}$ e $14 x^{4}$ .

$- \frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

Etapa 7.6

Combine os termos.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $\frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- (\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}})$

Etapa 7.6.2

Combine.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}})}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + x^{2} \frac{9}{x^{2}}}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + x^{2} \frac{9}{x^{2}}}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.5.1

Mova $x^{4}$ .

$- \frac{x^{4} x^{2} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{4 + 2} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.5.3

Some $4$ e $2$ .

$- \frac{x^{6} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.6

Mova $6$ para a esquerda de $x^{6}$ .

$- \frac{6 \cdot x^{6} + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.7

Mova $28$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 \cdot x^{2} + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Etapa 7.6.8

Multiplique $x^{2}$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.8.1

Mova $x^{8}$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{8} x^{2} \cdot 4}$

Etapa 7.6.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{8 + 2} \cdot 4}$

Etapa 7.6.8.3

Some $8$ e $2$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{10} \cdot 4}$

Etapa 7.6.9

Mova $4$ para a esquerda de $x^{10}$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{4 x^{10}}$