Cálculo Exemplos

$e^{2 x} (x^{3} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{2 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2 x} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (x^{3} + 1) e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $(x^{3} + 1) e^{2 x}$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + 2 \cdot ((x^{3} + 1) e^{2 x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} (3 x^{2}) + (2 x^{3} + 2 \cdot 1) e^{2 x}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} (3 x^{2}) + 2 x^{3} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} (3 x^{2}) + 2 x^{3} e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$3 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x^{3} + 2 e^{2 x}$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $3 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x^{3} + 2 e^{2 x}$ .

$3 x^{2} e^{2 x} + 2 x^{3} e^{2 x} + 2 e^{2 x}$