Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (2 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arcsin (2 x + 1))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \arcsin (y)$ e $g (y) = 2 x + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + 0)$

Etapa 3.5

Combine frações.

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Etapa 3.5.1

Some $2 x'$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x')$

Etapa 3.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} x'$

Etapa 3.5.3

Combine $\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ e $x'$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 x' = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Multiplique $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$2 x' = \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{1^{2} - {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 x + 1$ .

$2 x' = \sqrt{(1 + 2 x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Some $1$ e $1$ .

$2 x' = \sqrt{(2 x + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Etapa 5.3.2.1.3.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2 (1)) (1 - (2 x + 1))}$

Etapa 5.3.2.1.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x) - 1 \cdot 1)}$

Etapa 5.3.2.1.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1 \cdot 1)}$

Etapa 5.3.2.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1)}$

Etapa 5.3.2.1.3.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (- 2 x + 0)}$

Etapa 5.3.2.1.3.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) \cdot - 2 x}$

Etapa 5.3.2.1.3.8

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 x' = \sqrt{- 4 (x + 1) x}$

Etapa 5.3.2.1.4

Reescreva $- 4 (x + 1) x$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)$ .

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Etapa 5.3.2.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$2 x' = \sqrt{4 (- 1) (x + 1) x}$

Etapa 5.3.2.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1) x}$

Etapa 5.3.2.1.4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1^{2}) x}$

Etapa 5.3.2.1.4.4

Adicione parênteses.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 ((x + 1^{2}) x)}$

Etapa 5.3.2.1.4.5

Adicione parênteses.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)}$

Etapa 5.3.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1^{2}) x}$

Etapa 5.3.2.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.2.1.6.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$

Etapa 5.3.2.1.6.2

Reordene os fatores em $2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$ .

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ por $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Etapa 5.4.3.1.2

Divida $\sqrt{- x (x + 1)}$ por $1$ .

$x' = \sqrt{- x (x + 1)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \sqrt{- x (x + 1)}$