Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} - x$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x} - x) (\sqrt{x} + x)}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{1} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Etapa 3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

Etapa 4.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

Etapa 4.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{1}{x}} + 1}$

Etapa 5

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ , a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$

Etapa 6

Como seu numerador é ilimitado e seu denominador se aproxima de um número constante, a fração $\frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$ se aproxima do menos infinito.

$- \infty$