Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{t} (t^{2} + 3 t + 2) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t^{2} + 3 t + 2$ e $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Etapa 2.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 3) d t$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Etapa 3.2

Reordene $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Etapa 3.3

Reordene $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.4

Combine $2$ e $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.6

Combine $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $t$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.7

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.11

Some $3$ e $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 3.12

Combine $3$ e $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Etapa 3.13

Multiplique $3$ por $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{6 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $3$ de $6 t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d t$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d t$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{1} d t$

Etapa 4.2.4

Divida $2 t^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Etapa 6

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{5}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Etapa 8

Combine $\frac{2}{7}$ e $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{3}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.2

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.4

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.5

Combine $2$ e $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Etapa 11.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3.7

Para escrever $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Etapa 11.3.8

Combine $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Etapa 11.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Etapa 11.3.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Etapa 11.4

Reordene os termos.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{5} t^{\frac{5}{2}})) + C$