Cálculo Exemplos

$x e^{y} = 2 x y + y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (2 x y + y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x y') + 2 y + 3 y^{2} y'$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x e^{y} y' + e^{y} = 2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y = x e^{y} y' + e^{y}$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y = x y' e^{y} + e^{y}$

Etapa 5.3

Subtraia $x y' e^{y}$ dos dois lados da equação.

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y - x y' e^{y} = e^{y}$

Etapa 5.4

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x y' + 3 y^{2} y' - x y' e^{y} = e^{y} - 2 y$

Etapa 5.5

Fatore $y'$ de $2 x y' + 3 y^{2} y' - x y' e^{y}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 3 y^{2} y' - x y' e^{y} = e^{y} - 2 y$

Etapa 5.5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (2 x) + y' (3 y^{2}) - x y' e^{y} = e^{y} - 2 y$

Etapa 5.5.3

Fatore $y'$ de $- x y' e^{y}$ .

$y' (2 x) + y' (3 y^{2}) + y' (- x e^{y}) = e^{y} - 2 y$

Etapa 5.5.4

Fatore $y'$ de $y' (2 x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (2 x + 3 y^{2}) + y' (- x e^{y}) = e^{y} - 2 y$

Etapa 5.5.5

Fatore $y'$ de $y' (2 x + 3 y^{2}) + y' (- x e^{y})$ .

$y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y}) = e^{y} - 2 y$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y}) = e^{y} - 2 y$ por $2 x + 3 y^{2} - x e^{y}$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y}) = e^{y} - 2 y$ por $2 x + 3 y^{2} - x e^{y}$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y})}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} = \frac{e^{y}}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} + \frac{- 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $2 x + 3 y^{2} - x e^{y}$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y})}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} = \frac{e^{y}}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} + \frac{- 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{e^{y}}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} + \frac{- 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{e^{y} - 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} - 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$