Cálculo Exemplos

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Etapa 1

Expanda $x^{2} {(x + 1)}^{3}$ .

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Etapa 1.1

Use o teorema binomial.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d x$

Etapa 1.2

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3}) d x$

Etapa 1.3

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2}) d x$

Etapa 1.4

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 x^{2} \cdot 1) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.8

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 \cdot 1 x^{2}) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.9

Mova os parênteses.

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 \cdot 1) x^{2} + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.10

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.11

Mova $x$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1 \cdot 1 x) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.12

Mova os parênteses.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1 \cdot 1) x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.13

Mova os parênteses.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1) \cdot 1 x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.14

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Etapa 1.15

Mova os parênteses.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) \cdot 1 d x$

Etapa 1.16

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2 + 3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.18

Some $2$ e $3$ .

$\int x^{5} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.19

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{5} + 3 x^{2 + 2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.21

Some $2$ e $2$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.22

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.23

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.24

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.26

Some $2$ e $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.27

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Etapa 1.28

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Etapa 1.29

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{5} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 9.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{3}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$