Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x} - 1}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (e^{x} + 0) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1)}{x^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} - e^{x} - - 1}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} + 1}{x^{2}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{x e^{x} + 1 - e^{x}}{x^{2}}$