Cálculo Exemplos

$\cos (x^{2} y^{2}) = 3 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (3 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} y^{2}$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \sin (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') - \sin (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

Etapa 2.8.2

Combine os termos.

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Etapa 2.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2} y^{2}) (x^{2} y y') - \sin (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2} y^{2}) (x^{2} y y') - 2 \sin (x^{2} y^{2}) (y^{2} x)$

Etapa 2.8.3

Reordene os termos.

$- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2}) y' - 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2}) y' - 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2}) = 3$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2}) y' - 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$ .

$- 2 x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2}) - 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2}) = 3$

Etapa 5.2

Some $2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2}) = 3 + 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 2 x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2}) = 3 + 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$ por $- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2}) = 3 + 2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$ por $- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})$ .

$\frac{- 2 x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y y' \sin (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' \sin (x^{2} y^{2})}{y \sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' \sin (x^{2} y^{2})}{y \sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (x^{2} y^{2})}{\sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $\sin (x^{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (x^{2} y^{2})}{\sin (x^{2} y^{2})} = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.2.4.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Separe as frações.

$y' = \frac{3}{- 2 x^{2} y} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2} y^{2})} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x^{2} y^{2})}$ em $\csc (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{3}{- 2 x^{2} y} \csc (x^{2} y^{2}) + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3}{(2) x^{2} y} \csc (x^{2} y^{2}) + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.4

Combine $\csc (x^{2} y^{2})$ e $\frac{3}{2 x^{2} y}$ .

$y' = - \frac{\csc (x^{2} y^{2}) \cdot 3}{2 x^{2} y} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $\csc (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \cdot \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.6

Cancele o fator comum de $2$ e $- 2$ .

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Etapa 5.3.3.1.6.1

Fatore $2$ de $2 y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (y^{2} x \sin (x^{2} y^{2}))}{- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (y^{2} x \sin (x^{2} y^{2}))}{2 (- x^{2} y \sin (x^{2} y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (y^{2} x \sin (x^{2} y^{2}))}{2 (- x^{2} y \sin (x^{2} y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})}{- x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.7

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.7.1

Fatore $y$ de $y^{2} x \sin (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (y x \sin (x^{2} y^{2}))}{- x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.7.2.1

Fatore $y$ de $- x^{2} y \sin (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (y x \sin (x^{2} y^{2}))}{y (- x^{2} \sin (x^{2} y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (y x \sin (x^{2} y^{2}))}{y (- x^{2} \sin (x^{2} y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y x \sin (x^{2} y^{2})}{- x^{2} \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.8

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1.8.1

Fatore $x$ de $y x \sin (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (y \sin (x^{2} y^{2}))}{- x^{2} \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.8.2.1

Fatore $x$ de $- x^{2} \sin (x^{2} y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (y \sin (x^{2} y^{2}))}{x (- x \sin (x^{2} y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (y \sin (x^{2} y^{2}))}{x (- x \sin (x^{2} y^{2}))}$

Etapa 5.3.3.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y \sin (x^{2} y^{2})}{- x \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.9

Cancele o fator comum de $\sin (x^{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.3.3.1.9.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y \sin (x^{2} y^{2})}{- x \sin (x^{2} y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.9.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y}{- x}$

Etapa 5.3.3.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 \csc (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$