Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Etapa 1

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (θ)$ como $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Etapa 4

Como a derivada de $\tan (θ)$ é $\sec^{2} (θ)$ , a integral de $\sec^{2} (θ)$ é $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ e $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $- θ + \tan (θ)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Etapa 5.3.3

Some $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ e $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Etapa 6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{2})$ é $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Etapa 6.1

Divida $\frac{π}{2}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Etapa 6.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 6.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 6.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 6.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Etapa 6.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.7

Simplifique $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Etapa 6.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.7.1.1

Multiplique $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Etapa 6.7.1.1.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.7.1.1.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6.7.1.1.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Etapa 6.7.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Etapa 6.7.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Etapa 6.7.1.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 6.7.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Etapa 6.7.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Etapa 6.7.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Etapa 6.7.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.7.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Etapa 6.7.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Etapa 6.7.1.2.5

Avalie o expoente.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Etapa 6.7.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.7.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Etapa 6.7.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Etapa 6.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Etapa 6.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Etapa 6.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Etapa 7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido