Cálculo Exemplos

$y = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$1 + 6 \sqrt{x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} \geq 0$

Etapa 1.1.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.1.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq 0$

Etapa 1.1.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ é diferenciável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.1.1.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 2.1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.1.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.1.2.8

Combine $6$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 2.1.1.2.9

Multiplique $3$ por $6$ .

$0 + \frac{18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.1.2.10

Fatore $2$ de $18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 2.1.1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 2.1.1.2.11.4

Divida $9 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$0 + 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Some $0$ e $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[0, 1]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$9 \sqrt{x^{1}}$

Etapa 2.2.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$9 \sqrt{x}$

Etapa 2.2.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[0, 1]$ , porque a derivada é contínua em $[0, 1]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[0, 1]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[0, 1]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = 1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 6 x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 4.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 4.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$0 + 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.2.8

Combine $6$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 4.2.9

Multiplique $3$ por $6$ .

$0 + \frac{18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.2.10

Fatore $2$ de $18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 4.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 4.2.11.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 (9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.11.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 4.2.11.4

Divida $9 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$0 + 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(9 x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = 1 + 81 x$ . Depois, $d u = 81 d x$ , então, $\frac{1}{81} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Deixe $u = 1 + 81 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Diferencie $1 + 81 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 81 x]$

Etapa 6.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 81 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [81 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [81 x]$

Etapa 6.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [81 x]$

Etapa 6.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [81 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81 x$ em relação a $x$ é $81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 81 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 81 \cdot 1$

Etapa 6.1.1.3.3

Multiplique $81$ por $1$ .

$0 + 81$

Etapa 6.1.1.4

Some $0$ e $81$ .

$81$

Etapa 6.1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + 81 x$ .

$u_{lower} = 1 + 81 \cdot 0$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Multiplique $81$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 6.1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 6.1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + 81 x$ .

$u_{upper} = 1 + 81 \cdot 1$

Etapa 6.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Multiplique $81$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 81$

Etapa 6.1.5.2

Some $1$ e $81$ .

$u_{upper} = 82$

Etapa 6.1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 82$

Etapa 6.1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{82} \sqrt{u} \frac{1}{81} d u$

Etapa 6.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{81}$ .

$\int_{1}^{82} \frac{\sqrt{u}}{81} d u$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{81}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{81}$ para fora da integral.

$\frac{1}{81} \int_{1}^{82} \sqrt{u} d u$

Etapa 6.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{81} \int_{1}^{82} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{81} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{82}$

Etapa 6.6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $82$ e em $1$ .

$\frac{1}{81} ((\frac{2}{3} \cdot 82^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $82^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{81} (\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.6.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{81} (\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.6.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{81} (\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 6.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{81} \cdot \frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{81} (- \frac{2}{3})$

Etapa 6.7.2

Combine.

$\frac{1 (2 \cdot 82^{\frac{3}{2}})}{81 \cdot 3} + \frac{1}{81} (- \frac{2}{3})$

Etapa 6.7.3

Multiplique $\frac{1}{81} (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.3.1

Multiplique $\frac{1}{81}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 82^{\frac{3}{2}})}{81 \cdot 3} - \frac{2}{81 \cdot 3}$

Etapa 6.7.3.2

Multiplique $81$ por $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 82^{\frac{3}{2}})}{81 \cdot 3} - \frac{2}{243}$

Etapa 6.7.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{81 \cdot 3} - \frac{2}{243}$

Etapa 6.7.4.2

Multiplique $81$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{243} - \frac{2}{243}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \cdot 82^{\frac{3}{2}}}{243} - \frac{2}{243}$

Forma decimal:

$6.10322289 \dots$

Etapa 8