Cálculo Exemplos

$\cos (3 y) + \sin (2 x) = 2 x + 3 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (3 y) + \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (3 y) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 y$ .

$- \sin (3 y) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (3 y) (3 y') + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + 3 y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$3 y' + 2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x) = 3 y' + 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 3 y' + 2$

Etapa 5.2

Subtraia $2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ dos dois lados da equação.

$- 3 \sin (3 y) y' = 3 y' + 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.3

Subtraia $3 y'$ dos dois lados da equação.

$- 3 \sin (3 y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- 3 \sin (3 y) y' - 3 y'$ .

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Etapa 5.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1.1

Aplique a fórmula do arco triplo do seno.

$- 3 (- 4 \sin^{3} (y) + 3 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 3 (- 4 \sin^{3} (y)) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4.1.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4.1.1.4

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 9 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4.1.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.4.1.2

Reordene os fatores em $12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y'$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.1

Simplifique $2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Etapa 5.5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 5.5.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 + 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.5.1.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 0 + 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.5.1.2.2

Some $0$ e $4 \sin^{2} (x)$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $3 y'$ de $12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y'$ .

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Etapa 5.6.1.1

Fatore $3 y'$ de $12 y' \sin^{3} (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6.1.2

Fatore $3 y'$ de $- 9 y' \sin (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6.1.3

Fatore $3 y'$ de $- 3 y'$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6.1.4

Fatore $3 y'$ de $3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y))$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6.1.5

Fatore $3 y'$ de $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.6.2

Divida cada termo em $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ por $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.6.2.1

Divida cada termo em $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ por $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ .

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Etapa 5.6.2.2.2

Cancele o fator comum de $4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1$ .

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Etapa 5.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Etapa 5.6.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$