Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.5

Mova o termo $19$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.8

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.9

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.11.1.1

Multiplique $19$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.5

Multiplique $15$ por $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9 + 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.6

Some $9$ e $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.1.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.2.11.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 + 19 x}$ como ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 + 19 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 19 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.5

Como $19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $19 x$ em relação a $x$ é $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.12

Multiplique $19$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.13

Some $0$ e $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.15

Combine $\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.16

Mova $19$ para a esquerda de ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 \cdot {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.17

Multiplique $19$ por ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.18

Mova ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 + 15 x}$ como ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 + 15 x$ .

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Etapa 3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 15 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.6

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.13

Multiplique $15$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.14

Some $0$ e $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.16

Combine $\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.17

Mova $15$ para a esquerda de ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 \cdot {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.18

Multiplique $15$ por ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.4.19

Mova ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \cdot 1}$

Etapa 3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Etapa 4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 + 19 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Etapa 4.2

Reescreva ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 + 15 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}}{3}$

Etapa 5

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 7

Mova o termo $\frac{19}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 10

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 12

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 13

Mova o termo $19$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 14

Mova o termo $\frac{15}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 15

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 16

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Etapa 17

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}})$

Etapa 18

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Etapa 19

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Etapa 20

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Etapa 21

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 21.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Etapa 21.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22

Simplifique a resposta.

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Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 22.1.1.1

Multiplique $19$ por $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22.1.1.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22.1.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22.1.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22.1.2

Multiplique $\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 22.1.2.1

Multiplique $\frac{19}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2 \cdot 3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Etapa 22.1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 22.1.3.1

Multiplique $15$ por $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}})$

Etapa 22.1.3.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}})$

Etapa 22.1.3.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}})$

Etapa 22.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 22.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 22.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{15}{2}$ para o numerador.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 22.1.4.2

Fatore $3$ de $- 15$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 (- 5)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 22.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 22.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 5}{2})$

Etapa 22.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2})$

Etapa 22.2

Para escrever $- \frac{5}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 22.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 22.3.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Etapa 22.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{6})$

Etapa 22.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 5 \cdot 3}{6}$

Etapa 22.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 22.5.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 15}{6}$

Etapa 22.5.2

Subtraia $15$ de $19$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6}$

Etapa 22.6

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

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Etapa 22.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (2)}{6}$

Etapa 22.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 22.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 22.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 22.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 22.7

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Etapa 22.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3}$

Etapa 22.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9}$