Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Reescreva $\tan^{6} (t)$ como ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $\tan (t)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $\tan (t)$ de $\tan^{3} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $\tan (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 4.2

Aplique a identidade recíproca.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3.2

Combine.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\csc (t)$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.5

Combine $\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.6

Reduza a expressão $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.3.6.1

Multiplique por $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.6.2

Fatore $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Etapa 4.3.6.3

Cancele o fator comum.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Etapa 4.3.6.4

Reescreva a expressão.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Etapa 4.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

Etapa 5

Como a derivada de $- \csc (t)$ é $\csc (t) \cot (t)$ , a integral de $\csc (t) \cot (t)$ é $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

Etapa 6

Avalie $- \csc (t)$ em $1.44546849$ e em $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

Etapa 7

O valor exato de $\csc (\frac{π}{3})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 8.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 8.2.6.5

Avalie o expoente.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$0.14679527 \dots$

Etapa 10