Cálculo Exemplos

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.10

Combine $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.11

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.12

Combine $4$ e $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.13

Fatore $2$ de $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.14.1

Fatore $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Etapa 6

Resolva $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Etapa 6.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ por $y^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva a equação.

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Etapa 6.3.1

Encontre um divisor comum $y^{\frac{1}{2}}$ que esteja presente em cada termo.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

Substitua $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $u$ .

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Etapa 6.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Etapa 6.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Etapa 6.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Etapa 6.3.3.1.2

Simplifique.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Etapa 6.3.3.2

Subtraia $2 y'$ dos dois lados da equação.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Etapa 6.3.3.3

Fatore $u$ de $- y' u - 2 u$ .

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Etapa 6.3.3.3.1

Fatore $u$ de $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Etapa 6.3.3.3.2

Fatore $u$ de $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Etapa 6.3.3.3.3

Fatore $u$ de $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Etapa 6.3.3.4

Divida cada termo em $u (- y' - 2) = - 2 y'$ por $- y' - 2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.3.4.1

Divida cada termo em $u (- y' - 2) = - 2 y'$ por $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Etapa 6.3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- y' - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Etapa 6.3.3.4.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Etapa 6.3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Etapa 6.3.3.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Etapa 6.3.3.4.3.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Etapa 6.3.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Etapa 6.3.3.4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.3.5.1

Reescreva $- (y' + 2)$ como $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Etapa 6.3.3.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Etapa 6.3.3.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Etapa 6.3.3.4.3.5.4

Multiplique $\frac{2 y'}{y' + 2}$ por $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Etapa 6.3.4

Substitua $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$