Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Etapa 4

Avalie $\arctan (x)$ em $t$ e em $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Etapa 5.2

O limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $\arctan (0)$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

Etapa 5.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Etapa 5.4.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$