Cálculo Exemplos

${(x y)}^{x} = e$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${(x y)}^{x}$ como $e^{\ln ({(x y)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x y)}^{x})}]$

Etapa 2.1.2

Expanda $\ln ({(x y)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x y)}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine $\frac{1}{x y}$ e $x$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \cdot 1) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \cdot 1)$

Etapa 2.11

Multiplique $\ln (x y)$ por $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y))$

Etapa 2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y') + \frac{1}{y} y + \ln (x y))$

Etapa 2.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y')) + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{y} y') + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3.2

Combine $\frac{x}{y}$ e $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{x y'}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3.3

Combine $e^{x \ln (x y)}$ e $\frac{x y'}{y}$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3.4

Combine $\frac{1}{y}$ e $y$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \cdot 1 + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.3.6

Multiplique $e^{x \ln (x y)}$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Etapa 2.12.4

Reordene os termos.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)}$

Etapa 3

Como $e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} x y'}{y} + e^{x \ln (x y)}$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{x y' e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Etapa 5.1.2

Reordene $x$ e $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Etapa 5.1.3

Reordene $e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$ e $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)} = 0$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + \ln (x y) e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $\ln (x y) e^{x \ln (x y)}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $e^{x \ln (x y)}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}$

Etapa 5.4

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Etapa 5.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' x e^{x \ln (x y)} = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Simplifique $(- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$

Etapa 5.5.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.2.1

Reordene os fatores em $- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) y e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Etapa 5.5.2.1.2.2

Mova $\ln (x y)$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ por $x e^{x \ln (x y)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ por $x e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $e^{x \ln (x y)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x \ln (x y)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{x \ln (x y)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Etapa 5.6.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.6.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$