Cálculo Exemplos

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2} + y^{2}}] + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.2

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.4

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y \cdot y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 7.1

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 7.2

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \cdot 0$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0$

Etapa 9.2

Some $- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$