Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 2 x}{1 - x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + 1 (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $x^{2} - 2 x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.12

Multiplique $x^{2} - 2 x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Expanda $(1 - x) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (2 x - 2) - x (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.2.1.1

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 \cdot - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.2.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x^{2} - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.1.2.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 - 2 x^{2} + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 2 - 2 x^{2} + x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.1.3

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 2 - x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 2 x - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $- (x^{2} - 2 x + 2)$ como $- 1 (x^{2} - 2 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} - 2 x + 2}{{(- x + 1)}^{2}}$