Cálculo Exemplos

$\ln^{2} (t) \cos (t)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = \ln^{2} (t)$ e $g (t) = \cos (t)$ .

$\ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)]$

Etapa 2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (t)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Etapa 4

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 \ln (t) \frac{1}{t})$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{t}$ e $2$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{2}{t} \ln (t))$

Etapa 5.2

Combine $\frac{2}{t}$ e $\ln (t)$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{2 \ln (t)}{t}$

Etapa 5.3

Combine $\cos (t)$ e $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \frac{\cos (t) (2 \ln (t))}{t}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$- \ln^{2} (t) \sin (t) + \frac{\cos (t) (2 \ln (t))}{t}$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (t)$ .

$- \ln^{2} (t) \sin (t) + \frac{2 \cos (t) \ln (t)}{t}$