Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$ .

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Etapa 1.1

Fatore ${(5 - x^{3})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{3} {(5 - x^{3})}^{2}}}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}$ como ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 3

Multiplique $5 - x^{3}$ por ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Multiplique $5 - x^{3}$ por ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Eleve $5 - x^{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1} {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Etapa 3.4

Some $3$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}]$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}$ como ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{- 5}{3}}]$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{5}{3}}$ e $g (x) = 5 - x^{3}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3} u^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - x^{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 9.2

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 10.2

Combine ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ e $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{{(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.1

Mova $5$ para a esquerda de ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 10.3.2

Mova ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 12

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 13

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 15

Multiplique.

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Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 15.2

Multiplique $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (3 x^{2})$

Etapa 17

Simplifique os termos.

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Etapa 17.1

Combine $3$ e $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

Etapa 17.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

Etapa 17.3

Combine $\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2}}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 17.4

Fatore $3$ de $15 x^{2}$ .

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.1

Fatore $3$ de $3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 ({(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}$

Etapa 18.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 18.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{2}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\frac{5 x^{2}}{{(- x^{3} + 5)}^{\frac{8}{3}}}$