Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - \sqrt{6 - 2}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 2} x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{4 - 2^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 - x^{2}} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.13

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.15

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.15.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.3.3.15.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.15.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.15.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.15.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.15.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{6 - x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 - x}$ como ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 6 - x$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 - x])}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x])}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x])}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.14

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.16

Combine $\frac{{(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(6 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.18

Reescreva $- 1 {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.19

Mova ${(6 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.4.22

Multiplique $\frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

Etapa 1.3.8

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Etapa 1.4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $2^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Etapa 1.4.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Etapa 1.4.3

Reescreva ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{6 - x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1

Para escrever $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6.2

Para escrever $\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sqrt{2 x} \cdot 2 \sqrt{6 - x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ por $\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{6 - x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{\sqrt{2 x} (2 \sqrt{6 - x})} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6.3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}} + \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6.3.3

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}$ por $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}} + \frac{\sqrt{2 x}}{2 \sqrt{6 - x} \sqrt{2 x}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6.3.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}} + \frac{\sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{- 2 x}$

Etapa 1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{- 2 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{2 \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{6 - x} + \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{6 - x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.9

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.10

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.12

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.13

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x (6 - x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.14

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot lim_{x \to 2} 6 - x}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.15

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 2.16

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - lim_{x \to 2} x)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{4} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + \sqrt{4}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + 2}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.2.8

Some $4$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4 (6 - 2)}}}{2}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4 \cdot 4}}}{2}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{16}}}{2}$

Etapa 4.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{4^{2}}}}{2}$

Etapa 4.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{4}}{2}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{4}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{6}{2 \cdot 4}}{2}$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{6}{8}}{2}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $6$ e $8$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 (3)}{8}}{2}$

Etapa 4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}}{2}$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}}{2}$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3}{4}}{2}$

Etapa 4.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.8

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.8.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 4.9

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$ .

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Etapa 4.9.1

Multiplique $\frac{3}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{8 \cdot 2}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$- \frac{3}{16}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{16}$

Forma decimal:

$- 0.1875$