Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \cos (\frac{1}{2} x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \cos (\frac{1}{2} x)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{1}{2} x)) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{x}{2}) (2 x) d x$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 4 \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - (4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x)$

Etapa 4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (\frac{x}{2})$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{1}{2} x)) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Etapa 7

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - (- 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x))$

Etapa 8

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Etapa 9

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 9.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u)$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \cdot 2 d u)$

Etapa 10.3

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int 2 \cos (u) d u)$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 (2 \int \cos (u) d u))$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \int \cos (u) d u)$

Etapa 13

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$

Etapa 14

Reescreva $x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$ como $2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 16.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 (x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 16.4

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 x \cos (\frac{x}{2}) - 16 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$2 x^{2} \sin (\frac{1}{2} x) + 8 x \cos (\frac{1}{2} x) - 16 \sin (\frac{1}{2} x) + C$